ПОРТФЕЛИ ТОБИНА Ситуация меняется кардинально, если на рынке есть безрисковая ценная бумага. Предполагается, что доходность безрисковой бу- маги есть случайная величина, не коррелированная с доходностью других – рисковых – бумаг, поэтому при наличии безрисковой бу- маги в матрице ковариаций появляются
...
нулевые строка и столбец, в силу чего рассуждения, использованные при рассмотрении порт- фелей Марковица, становятся неверными. Эффективность безрис- ковой бумаги обозначим f и будем считать ее положительной.
...
ПОРТФЕЛИ ТОБИНА // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852454 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ ЗАДАННОГО РИСКА Пусть задан риск портфеля. Тогда портфель находится как одно- значное или двузначное (см. рис. 4.1) решение системы (4.65) Рис. 4.1. Зависимость риска портфеля из двух бумаг от его эффективности при фиксированных параметрах обеих бумаг и при увеличении
...
коэффици- ента корреляции от –1 до 1 Выразив x2 из второго уравнения и подставив его в первое, полу- чим 2 12x12 22(1 – x1)2 21212x1(1 – x1). (4.66) Отсюда после элементарных преобразований получаем квадрат- ное уравнение для x1: x12(12 – 21212 22) 22(121 – 2)x1 (22 – 2) 0. Решая его, находим компоненту...
ПОРТФЕЛЬ ЗАДАННОГО РИСКА // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852460 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ ЗАДАННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ В случае портфеля из двух бумаг задание эффективности порт- феля либо его риска однозначно определяет портфель (за исклю- чением случая 1 2, когда только задание риска портфеля одно- значно определяет и сам портфель, подробнее см. ниже).
...
При задании эффективности портфеля он однозначно находится как решение системы (4.57) а при задании риска портфеля – как решение системы (4.58) Поэтому в случае портфеля из двух бумаг говорить о минималь- ной границе (минимальном риске портфеля при заданной его эф- фективности) не приходится. Рассуждения по этому поводу в не- которых учебниках являются ошибочными. Рассмотрим первый случай – задана эффективность портфеля....
ПОРТФЕЛЬ ЗАДАННОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852461 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОГО РИСКА С НЕОТРИЦА- ТЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ Искать портфель максимального риска, на первый взгляд, пред- ставляется абсурдной задачей, поскольку все инвесторы стремятся минимизировать риск портфеля. Однако рассмотрение подобной задачи может иметь смысл. Во-первых, повышение доходности портфеля, как правило, влечет за
...
собой увеличение его риска, по- этому поиск высокоэффективных портфелей тесно связан с рас- смотрением портфелей с высокими рисками. Во-вторых, венчур- ное инвестирование всегда подразумевает высокие риски, так что инвестирование в развитие новых технологий также связано с рас- смотрением портфелей с высокими рисками. И, наконец, на прак- тике может сложиться ситуация, когда задача о портфеле мини- мального риска (в отличие от...
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОГО РИСКА С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852444 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗ ВСЕХ ПОРТФЕЛЕЙ РИСКА НЕ БОЛЕЕ ЗАДАННОГО Наряду с портфелями минимального риска имеет также смысл искать и портфели максимальной эффективности из некоторого множества портфелей. Эта задача сводится к решению следующей оптимизационной задачи: найти максимум целевой функции (4.111)
...
при условиях (4.112) ITX 1. (4.113) Прямой подход – составление функции Лагранжа и т.д. – не при- водит к решению задачи. Поэтому предлагается иной подход. Ра- нее мы получили, что для портфеля, являющегося решением за- дачи (1), при условиях ITX 1. Дисперсия и эффективность связаны формулой 2 . Изобразим эту кривую на плоскости (, V). На рис. 4.5...
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗ ВСЕХ ПОРТФЕЛЕЙ РИСКА НЕ БОЛЕЕ ЗАДАННОГО // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852450 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗ ВСЕХ ПОРТФЕЛЕЙ РИСКА НЕ БОЛЕЕ ЗАДАННОГО Наряду с задачей Тобина (4.119)–(4.121) рассмотрим оптимиза- ционную задачу: (4.136) при условиях (4.137) xf ITX 1. (4.138) Для решения задачи рассмотрим плоскость (, ) в переменных эффективность –
...
риск (рис. 4.7). На этой плоскости изобразим ло- маную где Рис. 4.7. К нахождению портфеля максимальной эффективности из всех портфелей риска не более заданного На рис. 4.7 множество портфелей для рассматриваемой ситуации заштриховано. Итак, если фиксировать эффективность портфеля , то низшая точка заштрихованного множества, лежащая на соответствующей вертикали, есть портфель Тобина – решение задачи (4.119)– (4.121). Если же фиксировать риск...
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИЗ ВСЕХ ПОРТФЕЛЕЙ РИСКА НЕ БОЛЕЕ ЗАДАННОГО // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852455 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ С НЕ- ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ Для нахождения портфеля максимальной эффективности с неот- рицательными компонентами необходимо решить оптимизацион- ную задачу (4.186) при условиях ITX 1; X ≥ 1. (4.187) Рассматриваемая задача является задачей линейного программи- рования. Из теории
...
линейного программирования известно, что в оптимальном решении задачи (4.185)–(4.187) только одна пере- менная может быть отлична от нуля. Следовательно, искомый портфель состоит только из бумаги наибольшей эффективности.
...
ПОРТФЕЛЬ МАКСИМАЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ КОМПОНЕНТАМИ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852445 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА МИНИМАЛЬНОГО РИСКА С ЭФ- ФЕКТИВНОСТЬЮ НЕ МЕНЬШЕ ЗАДАННОЙ Наряду с задачей (1), определяемой соотношениями (4.77)– (4.79), найдем портфель минимального риска из всех портфелей эффективности не менее заданной – задача (1). Такой портфель назовем оптимальным портфелем Марковица. Для этого
...
рассмот- рим оптимизационную задачу: найти минимум целевой функции (4.95) при условиях (4.96) ITX 1. (4.97) Из строения квадратичной функции (4.91), задающей уравнение минимальной границы, видно, что задачи (1) и (1) имеют одно и то же решение при любом , а именно min , а сам портфель . При рассматриваемые задачи имеют разные решения: реше- ние задачи (1) при...
ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА МИНИМАЛЬНОГО РИСКА С ЭФФЕКТИВНОСТЬЮ НЕ МЕНЬШЕ ЗАДАННОЙ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852451 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МИНИМАЛЬНОГО РИСКА Решим еще одну оптимизационную задачу: найти портфель ми- нимального риска из всех возможных портфелей, т.е. портфелей любой эффективности. Для этого необходимо найти минимум це- левой функции (4.100) при условии ITX 1. (4.101) Функция Лагранжа в этом
...
случае имеет вид (4.102) Приравнивая нулю производные по X, , получим систему из двух уравнений (4.103) Выразим неизвестное X из первого уравнения X V–1I (4.104) и подставим во второе уравнение системы. Получим (4.105) Для Х имеем (4.106) Итак, портфель минимального риска есть (4.107) Сама же минимальная дисперсия (4.108) Итак, обратная величина параметра численно равна минималь- ной дисперсии всех...
ПОРТФЕЛЬ МИНИМАЛЬНОГО РИСКА // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852453 (дата обращения 19.06.2026)
ПОРТФЕЛЬ МИНИМАЛЬНОГО РИСКА ПРИ ЗАДАННОЙ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ Первая из этих задач была поставлена и решена Марковицем. Итак, мы рассматриваем следующую задачу: требуется найти портфель X (x1, x2, ..., xn)T, который минимизировал бы риск и обеспечивал бы заданную величину
...
ожидаемой доходности . В математической постановке данная задача выглядит следую- щим образом: найти минимум целевой функции (4.77) при условиях (4.78) ITX 1. (4.79) Заметим, что числовой множитель в целевой функции введен для удобства. Мы ищем минимум квадрата риска, это обусловлено также техническими соображениями. Условие (4.78) обеспечивает данный уровень эффективности. Условие (4.79) следует из опре- деления вектора X. Если дополнительно...
ПОРТФЕЛЬ МИНИМАЛЬНОГО РИСКА ПРИ ЗАДАННОЙ ЕГО ЭФФЕКТИВНОСТИ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852452 (дата обращения 19.06.2026)
