НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА Переходя к пределу при p → ∞, получим непрерывный поток платежей с постоянной плотностью (t) R, так называемую не- прерывную ренту. Найдем предел при p → ∞. Используя правило Лопиталя, вычислим предел Используя его, получим выражение для
...
приведенной величины непрерывной ренты (2.85) Коэффициент приведения равен (2.86) Для наращенной суммы и коэффициента наращения непрерыв- ной ренты легко получаем из (2.85) и (2.86) следующие формулы: (2.87) Из полученных формул видно, что переход от дискретных рент к непрерывным приводит к увеличению коэффициентов приведе- ния и наращения в i/ln(1 i) раз, т.е. имеем следующую связь между коэффициентами: (2.88)
...
НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852522 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА С K-КРАТНЫМ НАЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ Найдем приведенную величину непрерывной ренты с k-кратным начислением процентов (2.98) Используя правило Лопиталя, получим (2.99) Итак, для приведенной величины непрерывной ренты с k-крат- ным начислением процентов имеем (2.100) Аналогично найдем наращенную величину непрерывной ренты
...
с k-кратным начислением процентов. Используя формулу (2.101) и переходя к пределу при p → ∞, имеем (2.102) Используя правило Лопиталя, получим (2.103) Итак, для наращенной величины непрерывной ренты с k-крат- ным начислением процентов имеем (2.104)
...
НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА С K-КРАТНЫМ НАЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852520 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА С НЕПРЕРЫВНЫМ НАЧИСЛЕ- НИЕМ ПРОЦЕНТОВ Из формулы (2.100) легко получить приведенную величину непрерывной ренты с не- прерывным начислением процентов, переходя к пределу k → ∞ (2.106) Итак, для приведенной величины непрерывной ренты с непре- рывным начислением процентов получили
...
следующее выраже- ние: (2.107) Аналогично найдем наращенную величину непрерывной ренты с непрерывным начислением процентов. Переходя в формуле (2.108) к пределу k → ∞, получим (2.109) Итак, для приведенной величины непрерывной ренты с непре- рывным начислением процентов получили следующее выраже- ние: (2.110)
...
НЕПРЕРЫВНАЯ РЕНТА С НЕПРЕРЫВНЫМ НАЧИСЛЕНИЕМ ПРОЦЕНТОВ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852521 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ Если частота начисления сложных процентов m неограниченно возрастает, то имеет место непрерывное начисление процентов. В этом случае по истечении t лет наращенная сумма будет равна: а) в случае простых процентов т.е. наращенная сумма остается той же, что
...
и при однократном начислении процентов. Этот вывод был сделан нами и в случае кратного начисления процентов, и связаны оба вывода с тем, что при любой кратности начисления процентов начисление произво- дится на исходную сумму пропорционально времени вклада; б) в случае сложных процентов (1.22) Процентную ставку i в (1.22) называют также силой роста и обозначают обычно буквой . С учетом этого...
НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ ПРОЦЕНТОВ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852474 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЕНТЫ Непрерывным аналогом арифметической ренты служит поток платежей с плотностью (t) R t. Приведенная стоимость та- кого потока за промежуток времени от 0 до T составляет (2.140) где ln(1 i) – сила роста.
...
Вычисляя интеграл, находим: (2.141) (напомним, что ).
...
НЕПРЕРЫВНЫЕ АРИФМЕТИЧЕСКИЕ РЕНТЫ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852537 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ При непрерывном начислении процентов имеем nS0 S0eiT, отсюда lnn Ti. Следовательно, (1.71) Мы получили формулу, формально совпадающую со случаем сложных процентов. Отметим, однако, что в данном случае фор- мула T lnn/i является точной в отличие
...
от случая сложных про- центов, где точная формула для срока увеличения капитала в n раз имеет вид , а формула T lnn/i получается после разложе- ния в ряд по малым i функции ln(1 i). Ситуация аналогична слу- чаю удвоения капитала, рассмотренному выше.
...
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852496 (дата обращения 21.06.2026)
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ При непрерывном начислении процентов имеем 2S0 S0eiT, отсюда ln2 Ti. Следовательно, T ln2/i. Окончательно полу- чаем 𝑇 ≈ 69,3 𝑖 ≈ 70 𝑖 . (1.62) Мы получили формулу, формально совпадающую с «Правилом 70» случая сложных
...
процентов. Отметим, однако, что в данном случае формула T ln2/i является точной в отличие от случая сложных процентов, где точная формула для срока удвоения капи- тала имеет вид T ln2/ln(1 i), а формула T ln2/i получается по- сле разложения в ряд по малым i функции ln(1 i).
...
НЕПРЕРЫВНЫЕ ПРОЦЕНТЫ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852487 (дата обращения 21.06.2026)
НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛАТЕЖИ Задается график лизинговых платежей (сроки и суммы). Сбалан- сированность выплат и задолженности достигается при определе- нии размера последней выплаты. Исходное равенство (7.27) где Rt, nt – сумма и срок t-го платежа, Rk, nk – сумма и срок по-
...
следнего платежа. Деление суммы платежа на проценты за кредит и суммы, пога- шающие основной долг, производится последовательно по фор- муле dt Rt – Dt–1j. (7.28)
...
НЕРЕГУЛЯРНЫЕ ПЛАТЕЖИ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852415 (дата обращения 21.06.2026)
ОБЩИЙ ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ПОТО- КОВ И РЕНТ Достаточно часто возникает необходимость выбора между не- сколькими рентами с разными параметрами. Для осознанного ре- шения проблемы выбора необходимо уметь сравнивать ренты. Та же проблема возникает и при сравнении финансовых потоков бо-
...
лее общего типа. Если сроки сравниваемых рент или финансовых потоков одинаковы, то необходимо сравнивать наращенные вели- чины рент (потоков) и выбирать ту ренту (поток), наращенная ве- личина которой больше. Альтернативными способами выбора ренты (потока) является сравнение их современных (дисконтиро- ванных к начальному моменту времени) или приведенных (дис- контированных к некоторому моменту времени между начальным и конечным моментами) величин. Рассмотрим два...
ОБЩИЙ ПРИНЦИП СРАВНЕНИЯ ФИНАНСОВЫХ ПОТОКОВ И РЕНТ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852551 (дата обращения 21.06.2026)
ОБЫКНОВЕННЫЕ РЕНТЫ Поток положительных платежей, разделенных равными времен- ными интервалами, называется финансовой рентой или просто рентой. Промежуток времени между двумя последовательными платежами называют периодом ренты (rent period, payment period). Считается, что каждый платеж производится либо в начале соот- ветствующего ему
...
периода, либо в конце. В первом случае ренту называют авансовой, или пренумерандо (annuity due) – рис. 2.2, во втором – обыкновенной, а также подрасчетной или рентой пост- нумерандо (ordinary annuity) – рис. 2.3. Ренты с конечным числом платежей называют конечными. Промежуток времени между началом первого периода и окончанием последнего называется сроком конечной ренты. Ренты с бесконечным числом платежей называют бесконечными,...
ОБЫКНОВЕННЫЕ РЕНТЫ // Справочник по финансовой математике. 2014. URL branch.znanium.ru/read/852529 (дата обращения 21.06.2026)
